Apoiado sobre patins, numa superfície horizontal sem atrito, um atirador dispara um projetil de massa m com velocidade v contra um alvo a uma distância d. Antes do disparo a massa total do atirador e seus equipamentos é M. Sendo vs a velocidade do som no ar e desprezando a perda de energia em todo o processo, quanto tempo após o disparo o atirador ouviria o ruído do impacto do projétil no alvo?
O tempo que o atirador leva para ouvir o som do impacto do projétil contra o alvo é tempo que o projétil leva até o alvo somado ao tempo que o som leva para ir do alvo até o seu ouvido.
equação 1 |
equação 2 |
Quando a arma dispara o atirador é impulsionado para trás, então o tempo que o som leva para chegar ao ouvido do atirador será dado pela razão entre a distância que o som percorreu até a posição inicial do atirador mais a distância x percorrida pelo atirador causado pelo impulso que o atirador sofreu e a velocidade vs do som. Então o tempo tsom será:
equação 3 |
A distância x percorrida pelo atirador será dada pelo produto de sua velocidade va e a soma dos tempos de viagem do projétil e do tempo de viagem do som até seu ouvido.
equação 4 |
Substituindo a equação 4 na equação 3 e após uma certa álgebra para isolar tsom, teremos:
equação 5 |
Ainda substituindo tprojétil dado pela equação 2 na equação cinco podemos chegar após mais alguns passos:
equação 6 |
Substituindo as equações 2 e 6 n equação um temos
equação 7 |
e assim
equação 8 |
.
Para obtermos a resposta no formato da questão falta sabermos o valor da velocidade do atirador em termos de quantidades conhecidas.
Para descobrirmos precisamos utilizar a conservação do momentum linear do sistema.
Inicialmente o sistema atirador + projétil estavam em repouso, então seu momentum linear inicial é nulo. Após o disparo o projétil segue em direção ao alvo e o atirador é impulsionado para trás. A equação para o momentum linear é:
equação 9 |
E obtemos para a velocidade do atirador
equação 10 |
Substituindo a equação 10 na equação 8 e mais alguma álgebra
Resposta item (A).
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